Diskussion:Projektion (Lineare Algebra)

Verständlichkeit

Hallo! Bin durch den Link auf Vektorrechnung hierher gekommen. Leider ist der Artikel für mich als Menschen mit ausschließlich schulmathematischer Bildung völlig unverständlich. Nun will ich gar nicht mal einfach so damit rechnen können (was auch immer man damit rechnen mag ;) ). Es wäre aber schön, wenn es möglich wäre, zumindest im ersten Satz eine grobe Vorstellung von der Bedeutung dieses Begriffs und seines Verwendungsgebiets zu vermitteln. Ginge das? Grüße, s. 84.131.12.161 12:55, 5. Mai 2007 (CEST)

ich will es versuchen. Ich fürchte nur, dass ich mit meiner Änderung scharf an der Grenze einiger Grundsätze für Wikipedia-Einleitungen bin(Kürze und Verzicht auf Beispiele). Aber so wird auch jedem aufmerksamen Leser Folgendes klar, was vorher fehlte: Die anschauliche Vorstellung einer Projektion ist nicht nur nützlich, sondern (bei geeigneter Basis) auch für alle Projektionen voll zutreffend (also in gewisser Weise äquivalent zur mathematisch prägnanten Def.). Das macht Mut, sich mit der Theorie auseinanderzusetzen und ist deshalb in der Einleitung m.E. genau richtig. --Max-Mütze 21:11, 22. Jan. 2009 (CET)

Also ich verstehe nicht mal die Einleitung...

Die Einleitung muss allgemeinverständlich sein. Die Definition gehört in einen eigenen Abschnitt. Hilfreich für die Verständlichkeit ist ein Abschnitt mit alltagsverständlichen Beispielen. Gruss, --Markus 14:32, 26. Dez. 2009 (CET)

Ich habe jemandem bei der Erklärung eines 3D-Programms empfohlen, sich die Erklärung für orthogonale Abbildung in der Wikipedia anzuschauen, ohne zu wissen, was hier abgeht. Sorry aber gegenüber der englischen Wikipedia ist das hier nichts weiteres als die anschauliche Begründung, weshalb Mathematik in Deutschland so richtig gut ankommt. Ich werde diese Seite als pickeliges Beispiel der deutschen Wikipdia weiterempfehlen. (nicht signierter Beitrag von 77.11.37.81 (Diskussion) 11:59, 12. Jul 2011 (CEST))

Skalarprodukt

Sind Skalarprodukte nicht immer positiv definit? Haben wir hier nicht einen weißen schimmel? ~ (nicht signierter Beitrag von Gardengrove (Diskussion | Beiträge) 17:46, 10. Jul 2009 (CEST))

Ja, das sind sie immer. (nicht signierter Beitrag von 139.30.16.21 (Diskussion | Beiträge) 22:23, 4. Dez. 2009 (CET))

Stimmt absolut, das ganze ist hier aber misleading, weil zu speziell. Es gilt auch für beliebige symmetrische oder schiefsymmetrische Bilinearformen (sie müssen nur nicht-ausgeartet sein) und sogar auch über den komplexen Zahlen. Damit wäre dann auch die spezielle Relativitätstheorie mit ihrem Minkowskiprodukt mit eingeschlossen, die klassische Mechanik mit ihrer symplektischer Bilinearform und die Quantenmechanik mit dem komplexen Skalarprodukt im Hilbertraum. In allen Fällen (und sogar in der Allgemeinen Relativitätstheorie bei den Krümmungstensoren in der Formulierung von Singer u Thorpe, Einstein- und Weylprojektor!) spielen Projektoren bei der Strukturtheorie der Vektorräume eine entscheidende Rolle. In den Büchern über Quantenmechanik wird sehr wohl erwähnt, daß die statistischen Operatoren Projektoren auf Teilräume sind, und die reinen Zustände jene, die auf eindimensionale Teilräume projizieren. Die Theorie der Projektoren in Räumen mit Bilinearform wäre also mit Blick auf alle diese physikalischen Fälle zu entwickeln. (nicht signierter Beitrag von 130.133.134.16 (Diskussion) 15:08, 26. Sep. 2011 (CEST))

Abb. geduldet?

"Um vom Gradienten eines skalaren Vektorfeldes auf eine Richtungsableitung zu kommen, bestimme die Komponente des Gradienten in der vorgegebenen Richtung."
Ich habe in WP keinen Artikel zur Zerlegung von Vektoren in Komponenten gefunden, bloß Anwendungen wie in schiefe Ebene. (Ist das überhaupt der richtige Sprachgebrauch von Komponente oder sind die Komponenten stets die Koeffizienten (also in Koordinatenrichtung)?) Ich könnte alternativ schreiben, "bestimme die Projektion des Gradienten auf die vorgegebenen Richtung," aber ohne Abbildung hier wird Oma das nicht hinbekommen. Vorschlag: Abschnitt mit Abbildung zur Anwendung der Projektion bei der Zerlegung eines Vektors und Verlinkung aus den BKS Komponente und Zerlegung. Gruß – Rainald62 18:52, 31. Okt. 2009 (CET)

Siehe auch dort – Rainald62 10:09, 15. Aug. 2010 (CEST)

Also eine Abbildung, die eine orthogonale und eine schiefe Projektion zeigt, fände ich sehr schön. --P. Birken 19:20, 16. Aug. 2010 (CEST)

Sinn

In der Quantenmechanik spricht man im Zusammenhang mit dem Messprozess von der Projektion des Zustandsvektors ψ auf den zum Messergebnis, einem Eigenwert der betrachteten Observablen (d.h. des zugeordneten selbstadjungierten Operators) im Zustandsraum des Systems, dem sog. Hilbertraum.

Der Satz ergibt noch immer keinen Sinn. Was ist gemeint mit "auf den zum Messergebnis"? --Digamma 10:34, 28. Mai 2010 (CEST)

Lemma

Mir gefällt der Klammerzusatz "(Mathematik)" nicht. Schließlich gehören auch Parallelprojektion und Zentralprojektion zur Mathematik. Wie wäre es stattdessen mit "Projektion (Lineare Algebra)"? -- Digamma 17:53, 29. Jul. 2010 (CEST)

Also Parallelprojektion ist genau das, was hier beschrieben wird und die Zentralprojektion müsste auch in das Schema passen, auch da passiert ja nichts, wenn ich das bild nochmal projeziere. Der Artikel könnte allerdings mal eine Überarbeitung vertragen, mit einer literaturbasierten Definition. --P. Birken 19:33, 2. Aug. 2010 (CEST)

Der Kontext ist schon zu speziell: Projektionen, die in der Geometrie betrachtet werden, finden in einem affinen Raum statt, nicht in einem Vektorraum. Zentralprojektionen fallen nicht unter die Definition des Artikels. Sie sind keine linearen, sondern projektive Abbildungen Außerdem kann man auch auf andere Mengen als auf lineare (oder affine) Unterräume projizieren, z.B. gibt es die Projektion auf den nächsten Punkt bei konvexen Mengen. Noch etwas, was nicht in den Kontext passt: Die Projektion von einem Produktraum/kartesischen Produkt auf einen seiner Faktoren. Das ist etwas rein mengentheoretisch, es braucht keine Vektorraum- oder ähnliche Struktur. Man kann das natürlich alles in den Artikel einbauen. -- Digamma 20:06, 2. Aug. 2010 (CEST)

Ich würde eher verschiedene Artikel zu den Projektionsbegriffen basteln. Ansonsten stellt sich die Frage, wann ein Projektionsbegriff „mathematisch“ ist. Da wären die Grenzen dann fließend.

Wie nennen wir diesen Artikel dann? Schlage mal den Klammerzusatz Lineare Algebra oder Lineare Abbildung vor?! --goiken 20:28, 2. Aug. 2010 (CEST)

Also der wesentliche Punkt ist doch, dass $P^{2}=P$ ist. Dass mit dem linear hat beispielsweise irgendwann eine IP eingefügt und ist völlig unwesentlich. --P. Birken 20:35, 2. Aug. 2010 (CEST)

Es ging von Anfang an um lineare Algebra. Und das Wesentliche dazu stammt von Benutzer:Gunther (siehe [1]). Wenn Du die lineare Algeba streichst, bleibt nichts mehr übrig. Wenn es nur um $P^{2}=P$ geht: Dazu gibt es schon den Artikel Idempotenz. So ganz stimmet es aber nicht. Es gibt auch Situationen, wo man von Projektionen spricht, wo die Abbildung gar nicht von der Menge in sich geht (z.B. bei der Projektion von einem kartesischen Produkt auf einen Faktor. -- Digamma 20:42, 2. Aug. 2010 (CEST) Noch etwas, das nicht unter den Artikel fällt: Die kanonische Projektion auf einen Faktor-/Quotientenraum, auf eine Faktorgruppe, etc. -- Digamma 20:48, 2. Aug. 2010 (CEST)

Jein, es ging von Anfang an um Funktionalanalysis, die lineare Algebra ist der Spezialfall und letztlich geht es darum, die geometrische Parallelprojektion ins abstrakte zu verallgemeinern. Ansonsten hast du wohl recht, im von Dir genannten Beispiel sind das auch Projektionen, bei denen sich im Fall P:V->V das hier genannte ergibt. Die Lösung in der englischen Wikipedia ist übrigens eine BKL nur zum mathematischen Teil: en:Projektion (mathematics). Sinnvoll wäre allerdings IMHO eher Projektion (Funktionalanalysis) für diesen Artikel. --P. Birken 20:57, 2. Aug. 2010 (CEST)

Wie ich das sehe, ist das meiste nur Lineare Algebra. Es gibt eine kurze Anmerkung zu Hilberträumen und relativ neu einen Abschnitt zur Quantenmechanik. Deshalb plädiere ich für Projektion (Lineare Algebra). -- Digamma 21:17, 2. Aug. 2010 (CEST)

Lemmata sollten aber IMHO nicht danach ausgesucht werden, was ist, sondern was sein sollte. --P. Birken 21:29, 2. Aug. 2010 (CEST)

Sein sollte, hier mit „lineare Algebra“ zu klammern und Projektion (Funktionalanalysis) neuzuschreiben. Die BKL „Projektion (Mathematik)“ brauchen wir in Anbetracht der allgemeinen BKL Projektion IMO eher nicht, weil erstens keine(r) danach sucht und zweitenszumindest mir unklar ist, was denn eine mathematische Projektion im Unterschied zu bspw einer geodätischen ausmacht. --goiken 22:30, 2. Aug. 2010 (CEST)

Warum sollte das so sein? Zwei Artikel zu linearer Algebra und Funktionalanalysis wären fast völlig redundant? Hast Du dir die englische BKL angeschaut? --P. Birken 08:59, 3. Aug. 2010 (CEST)

Für mich ist das Lineare Algebra. Auch wenn es in der Funktionalanalysis verwendet wird und es spezielle funktionalanalytische Sätze dazu gibt, ist es dennoch ein Konzept aus der linearen Algebra. Wenn ich mich von der Funktionalanalysis her dafür interessiere, dann würde ich durchaus in einem Artikel nachschauen, der "Lineare Algebra" im Titel trägt. Wenn ich mich aber für lineare Algebra interessiere, dann würde ich nicht in einem Artikel schauen, der Funktionalanalysis im Titel trägt, denn dann würde ich davon ausgehen, dass da nichts über den endlichdimensionalen Fall drin steht. (Eigentlich interessiert mich die Differentialgeometrie, aber die benutzt eben auch Konzepte der linearen Algebra, weil Ableitungen von differenzierbaren Abbildungen lineare Abbildungen zwischen Tangentialräumen sind.) -- Digamma 16:04, 3. Aug. 2010 (CEST)

Schlichtungsversuch: Projektion (lineare) – Rainald62 16:42, 3. Aug. 2010 (CEST)

Da ist was dran. Also gut, nennen wirs (lineare Algebra). Was mir noch nicht gefällt, ist der Rest. Dein Beispiel mit der Einschränkung ("Die Projektion von einem Produktraum/kartesischen Produkt auf einen seiner Faktoren.") ist ja letztlich dasselbe in Grün und so etwas sollte irgendwo auch auftauchen, aber dann eben nicht unbedingt in diesem Artikel. Letztlich ist es aber etwas, wenn man die Abbildung auf einen dieser Faktoren einschränkt, erhält man die Identität, wieder mit P^2=P und der Entsprechung zu hier, wo die Einschränkung auf das Bild der Projektion die Identität ergibt. Was meint ihr, wo man das unterbringen sollte? --P. Birken 16:44, 8. Aug. 2010 (CEST)

Die Projektion von einem Produktraum kann man vielleicht bei Kartesisches Produkt unterbringen. Ich finde sowieso, dass man in Artikeln über mathematische Strukturen immer auch die zugehörigen Abbildungen zumindest kurz nennen sollte. Man könnte den Begriff hier erklären.

Ansonsten wäre vielleicht wirklich ein Übersichtsartikel "Projektion (Mathematik)" nützlich, der kurz das Gemeinsame aller Projektionsbegriffe erläutert und dann auf die Artikel verweist, die die einzelnen Produktbegriffe als solche oder im entsprechenden Kontext mit behandeln. -- Digamma 19:00, 8. Aug. 2010 (CEST)

Einen Übersichtsartikel Projektion (Mathematik) fände ich insofern problematisch, da der Begriff "Projektion" in der Mathematik mit zu weit auseinander liegenden Bedeutungen belegt ist. Letztlich ist alles, was von A nach B geworfen wird und dort liegen bleibt, das Ergebnis einer Projektion. Ein solcher Artikel würde sich zwanglos in solche Artikel, wie Linearität, Orthogonalität oder Idempotenz einreihen, die ich alle ebenfalls als problematisch ansehen würde. Projektion (Mathematik) sollte daher höchstens eine BKS sein und selbst die ist nicht zwingend nötig, da man die Links auch in Projektion unterbringen könnte.

Diesen Artikel sollte man zumindest nach Projektion (lineare Algebra) oder gleich Lineare Projektion verschieben. Optional würde sich anbieten, eigene Artikel Idempotente Matrix für die Matrixdarstellung und Projektor (Mathematik) für die funktionalanalytischen Aspekte anzulegen (über eine ähnliche Aufteilung könnte man übrigens auch bei Orthogonalprojektion nachdenken). Eine solche Aufteilung hat sich andernorts auch bewährt (etwa bei linearen oder orthogonalen Abbildungen).

Zu den weiteren Bedeutungen: Die Abbildung in einen Faktorraum oder ähnliche Strukturen kenne ich auch als kanonische Projektion, dazu haben wir aber bereits den Artikel Quotientenabbildung. Die Abbildung auf eine Tupelkomponente oder ähnliches würde ich nicht in kartesisches Produkt einbauen, sondern einen eigenen Artikel Projektion (Mengenlehre) anlegen. Die mengentheoretische Projektion kann man zum Beispiel bei geordneten Paaren oder Tupeln verwenden (das ist aber dann ein anderes Thema). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:09, 3. Jun. 2014 (CEST)

Was den Übersichtsartikel betrifft, hast du mich überzeugt. Ich wäre dann bei diesem Artikel eher für Projektion (lineare Algebra) als für Lineare Projektion. Ich halte die Abbildungen für relevanter als die zugehörigen Matrizen, deshalb bin ich dagegen, den endlichdimensionalen Fall in einem Artikel über idempotente Matrizen abzuhandeln (falls es über die Matrizen genug zusätzlich zu sagen gibt, kann man dazu ja einen zusätzlichen Artikel anlegen). Ob es Sinn macht, einen eigenen Artikel über Projektoren in der Funktionalanalysis zu schreiben, kann ich nicht beurteilen. Gegen einen Artikel Projektion (Mengenlehre) habe ich nichts einzuwenden. --Digamma (Diskussion) 21:57, 3. Jun. 2014 (CEST)

Der Artikel Idempotente Matrix war schon zusätzlich gemeint, nicht als Ersatz zu Projektion (lineare Algebra). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 22:08, 3. Jun. 2014 (CEST)

Zur mengentheoretischen Projektion haben wir auch noch als Anwendung Relationale Algebra#Projektion. Im Wesentlichen ist das die mathematische Konstruktion, wobei hier nicht auf einzelnen Tupeln, sondern auf Mengen von Tupeln operiert wird. Am besten man bringt diesen Aspekt in Projektion (Mengenlehre) dann in einem eigenen Anwendungsabschnitt mit Verweis auf Projektion (Informatik). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 08:31, 4. Jun. 2014 (CEST)

Ich verschiebe dann mal den Artikel auf Projektion (lineare Algebra). --Digamma (Diskussion) 21:39, 4. Jun. 2014 (CEST)

Danke für den neuen Artikel Projektion (Mengenlehre). --Digamma (Diskussion) 18:39, 2. Dez. 2014 (CET)

Gern geschehen und eine Baustelle weniger :-). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:01, 2. Dez. 2014 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 11:26, 2. Dez. 2014 (CET)

Orthogonalprojektion

Wäre evtl. ein eigener Artikel Orthogonalprojektion (mit Inhalten zum zwei- und dreidimensionalen, zum endlichdimensionalen und zum unendlichdimensionalen Fall) sinnvoll? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:24, 13. Mai 2012 (CEST)

Aus meiner Sicht: Ja. --Digamma (Diskussion) 21:29, 13. Mai 2012 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 19:40, 3. Jun. 2014 (CEST)